Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел. Кватернионы в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения. Однако это число появляется в различных математических результатах, в которых ни о какой окружности речи не идёт.
Действительные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. При этом лишь некоторые из действительных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. В повседневной жизни, в математике, в точных науках почти повсеместно используются числа. При помощи чисел происходит измерение различных величин. Числа помогают количественно характеризовать различные свойства предметов.
- Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел.
- Однако это число появляется в различных математических результатах, в которых ни о какой окружности речи не идёт.
- Для сокращения записи чисел великанов (больших чисел) давно используется система величин, в которой числа великаны имеют свои названия и записи в двух вариантах.
- Раньше для обозначений чисел использовались черточки, однако для записи больших значений такой способ был крайне неудобен.
Обоснование понятия натурального числа стало необходимым лишь в середине XIX в. В связи с развитием аксиоматического метода в математике и разработкой основ математического анализа. В работах немецкого математика Кантора на основании понятия множеств, их равномощности, т. Сопоставимости элементов одного множества элементам другого. Число предметов в совокупности, число элементов во множестве определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая ей равномощная. Другое понятие натурального числа было дано итальянским математиком Пеано на основании сформулированных им аксиом.
Афоризмы русских писателей со словом «число»
Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более впоследствии усложняясь. Позже число становится основным понятием математики, и потребности этой науки определяют дальнейшее развитие этого понятия. На объём же памяти ЭВМ накладываются физические ограничения. Для представления чисел отводится некоторое определённое число число фибоначчи это ячеек (обычно двоичных, бит — от BInary digiT) памяти. В случае, если в результате выполнения операции полученное число должно занять больше разрядов, чем отводится в ЭВМ, результат вычислений становится неверным — происходит так называемое арифметическое переполнение.
Понятия со словом «число»
- Со временем начинают применяться действия над числами, сначала сложение и вычитание, позже умножение и деление.
- Строго говоря, понятия число и множество чисел — разные понятия.
- Любой объект является исчислимым и измеряемым, потому что он сконструирован по схеме числа (или величины).
- Первым обобщением натуральных чисел были дробные числа, возникшие в связи с потребностью производить измерения какой-либо величины, что заключается в сравнении ее с какой-либо другой величиной — эталоном.
Раньше для обозначений чисел использовались черточки, однако для записи больших значений такой способ был крайне неудобен. Представьте, сколько времени бы заняло рисование черточек для записи, к примеру, числа 745. В данной публикации мы рассмотрим определение числа, перечислим его основные виды и отличия от цифры, разберем принцип образования чисел и их произношение. Представленная информация сопровождается примерами для лучшего понимания.
Число — одно из основных понятий математики, возникшее впервые в связи с потребностями счета предметов и совершенствовавшееся затем по мере развития математических знаний. Уже в трудах античных ученых было установлено, что ряд натуральных чисел бесконечен (III в. до н. э.). Проблемы бесконечности натурального ряда, ряда простых чисел и построение названий для сколь угодно больших чисел обсуждаются в знаменитом произведении Евклида «Начала» и в книге Архимеда «Об исчислении песка» («Псаммит»). Представление чисел в памяти компьютера имеет ограничения, связанные с ограниченностью объёма памяти, выделяемого под числа. Даже натуральные числа представляют собой математическую идеализацию, ряд натуральных чисел бесконечен. На объем же памяти ЭВМ накладываются физические ограничения.
Такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием «много». Разные слова для большого количества предметов разного рода существуют и сейчас, такие, как «толпа», «стадо», «куча». Примитивный счёт предметов заключался «в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона», которым у большинства народов являлись пальцы («счёт на пальцах»). Это подтверждается лингвистическим анализом названий первых чисел. На этой ступени понятие числа становится не зависящим от качества считаемых объектов.
Специальные числа: Пи, e
Английский математик Август де Морган назвал как-то Пи «…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу». Магические и мистические свойства чисел волновали людей еще в глубокой древности. Хотим мы этого или нет, но где-то глубоко в нас сидит какая-то симпатия к одним числам и осторожность, а порой и совсем неприятные чувства к другим. Число это одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.
Строго говоря, понятия число и множество чисел — разные понятия. Также, если не оговорено противное, термины «числа» и «множество чисел» — будут являться синонимами. Осознание бесконечности натурального ряда явилось следующим важным шагом в развитии понятия натурального числа. Об этом есть упоминания в трудах Евклида и Архимеда и других памятниках античной математики III века до н.
Введение комплексных чисел
Понятие числа служит исходным для многих математических теорий. Числа находят широкое применение и в физике, механике, астрономии, химии и многих других науках. В системах компьютерной алгебры, Питоне и некоторых других языках программирования числа представлены в виде объектов, над которыми определены операции сложения, умножения, возведения в степень и обратные к ним.
Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются . Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления). Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается . (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть ). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.
Понятие натурального числа кажется таким простым и естественным, что в науке долгое время не ставился вопрос об определении его в терминах каких-либо простых понятий. При записи чисел используются различные способы (последовательности символов- цифр), т.е. Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величины. Кроме рациональных чисел, включает множество иррациональных чисел , не представимых в виде отношения целых.
В математике для множеств существует величина мощности множества, аналогичная количеству элементов в нём. Развитие этого представления для бесконечных множеств привело к дальнейшему обобщению понятия числа. Сейчас говорят о кардинальных числах, которые описывают множества из любого числа элементов — конечного или бесконечного. P-адические числа можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел при помощи т. P-адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел определяется как его пополнение при помощи обычной абсолютной величины.
Возможности воспроизведения чисел значительно увеличились с появлением письменности. О последних свидетельствуют вавилонские клинописные обозначения или знаки для записи чисел в кириллической системе счисления. Когда в Индии появилась позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков (цифр), это стало большим достижением человека. От наиболее простых натуральных, известных каждому ребёнку, до весьма сложных и специфичных комплексных, изучаемых в специальных разделах математики, физики.Ниже приводятся определения различных чисел. Перед этим важно отметить, что все числа определённого вида образуют в совокупности множество таких чисел.
В таких системах возможны операции и над иррациональными, и над трансцендентными числами без потери точности. Такое представление обычно требует большего объема памяти, чем приближенное представление рациональными числами. Практически важным обобщением числовой системы является интервальная арифметика.
